由波耳氫原子模型談量子力學的建立（4）

原文完成於2009年七月，刊載於科學月刊2010年四月號

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後續發展

波耳模型尚有其他困難。比方說，它只能圓滿解釋氫原子模型。至於其他更複雜的原子，其光譜有著被稱為「精細結構（fine structure）」、較氫原子光譜複雜甚多的細微變化。關於這些實驗結果，波耳模型則無能為力。

波耳和索莫非（Arnold Sommerfeld）在稍後提出了一個含有一系列離心率不同的橢圓電子軌道的原子模型，藉由以量子化條件來調控這些橢圓軌道的形狀，以及引入相對論來修正計算結果，成功的解釋精細結構。兩人並以此發展出波耳-索莫非量子化關係式（Bohr-Sommerfeld quantization），此一結果至今依然在部份統計力學（statistical mechanics）的領域大行其道。然而，隨後，又有實驗結果指出，在電子數更多的原子中，又有更複雜的「超精細結構（hyperfine structure）」使得其光譜顯現出其他變化。這一次，波耳再也無法修正其模型以符合之。


物質波

然而，波耳對於原子光譜的大膽假設，已經在物理學界掀起漣漪。以能量躍遷，而非古典的電荷加速度運動，來說明電磁輻射來源，這樣的變革性假設引起了許多物理學家的注意，並試圖以這個觀念出發，推演出其他的結果。1923年，德布羅依（de Broglie）為了尋找一個能圓滿解釋波耳模型、並將其推廣至適用於所有原子的理論，提出了「物質波（matter wave）」概念。該概念的核心為「波粒二象性（wave–particle duality）」，即是說，任何物質都具有波的性質，無法定義出其確切位置。以公式表達此學說，即為：

λ=h/p

λ是某物體的「物質波」波長，h是蒲朗克常數，p是物體的動量。

利用物質波的觀念，可進一步解釋波耳先前關於角動量的假定：原子中電子的角動量必須是蒲朗克常數h的整數倍。推導過程如下：

考慮圓周運動的情況，則電子角動量與動量的關係為：

L = n(h/2π) = rp

r是電子與原子核的距離，亦即原子半徑。

代入德布羅依的物質波公式 λ = h/p：

nh/2π = r．h/λ

整理可得：

2πr = nλ

此式左側是圓周長，右側則是電子物質波波長的整數倍。這條公式的含意即是：電子的物質波必須在其軌道上形成駐波，宛若某種「共鳴」。此一結果之大膽、創新，在當時極具震撼力。

1927年，Lester Germer和Clinton Davisson以電子進行鑷金屬晶格之繞射實驗，證實了電子確實能表現出波才有的繞射效應。德布羅依因此以物質波理論獲得1929年諾貝爾物理學獎。

至此，似乎一切都有了合理的解釋。儘管波耳模型尚無法解釋某些原子光譜內的精細結構，但一般相信，以物質波的觀念出發，這些結構終究能夠被其他關於電子軌道的量子化條件所圓滿處理，一時無法解決不過是因為這些計算太過複雜罷了。原子模型的建立，也似乎告了個段落。

然而，物質波的概念，卻在不久後引伸出了全盤否定上述所有的原子模型的理論：薛汀格方程式。

（待續）